命題１４
第1の量が第2の量に同じ比を持つと同じように第3の量が第4の量に同じ比をもち、第１の量が第３の量より大きいならば、第2の量は第4の量より大きく、等しいならば等しく、小さいならば小さい。
第1の量Aが第2の量Bに同じ比を持つと同じように第3の量Cが第4の量Dに同じ比をもつとし、AはCより大きいとする。
BもまたDより大きいことをいう。
AがCより大きく、Bが他の任意の量であるから、それゆえにAはBにCがBに持つより大きい比を持つ。propositionⅤ．８
しかしAはBに対し同じようにCはDに対するから、それゆえにCはDにCがBに持つより大きい比を持つ。propositionⅤ．１３
しかし同じ量が大きい比を持つことはない。それゆえにDはBより少ない。つまりBはDより大きい。propositionⅤ．１０
同じようにAがCと等しいならばBがDと等しく、AがCより小さいならばBはDより小さいことを証明できる。
それゆえに、第1の量が第2の量に同じ比を持つと同じように第3の量が第4の量に同じ比をもち、第１の量が第３の量より大きいならば、第2の量は第4の量より大きく、等しいならば等しく、小さいならば小さい。
証明終了